Fraktaler är enastående strukturer skapade av naturen som döljer sig överallt runtomkring oss.

Det är svårt att exakt definiera fraktaler, även om de flesta av dem har fyra gemensamma egenskaper: oändligt invecklade, består av mindre kopior av sig själva, komplexitet ur enkelhet och nedbrutna dimensioner. Egenskaperna förklaras nedan.

Nästa ormbunke du stöter på kan utgöra en bra illustration av dessa egenskaper om du stannar till och tar en närmare titt. Notera till att börja med hur invecklade detaljer ormbunken har. Speciellt kan du titta på hur bladen är formade som små kopior av stjälkarna.

Faktum är att hela ormbunken till största delen är uppbyggd från samma grundläggande form, som upprepas om och om igen i allt mindre skala. Det mest förbluffande av allt är att fraktalmatematiken avslöjar att detta enkla ormbunksblad varken är en form som är en- eller tvådimensionell utan svävar någonstans däremellan.

Exakt vilken form har ormbunken?

Den klassiska euklidiska geometrin som lärs ut på gymnasiet ger inte svar på denna enkla fråga. Även om cylindrar och rektanglar kan vara bra som modeller för former inom tekniken så finns det ytterst få regelbundna former i naturen.

Hur kan vi beskriva en ormbunke som en exakt matematisk form? Hur kan vi bygga en matematisk modell av detta vackra objekt? Välkommen in i en helt ny värld av underbara former – en matematisk gren som kallas fraktalgeometri.

1. Oändligt invecklade

Många mönster i naturen är så oregelbundna och fragmenterade att jämfört med euklidiska… Naturen uppvisar inte bara en högre grad utan en helt och hållet högre nivå av komplexitet.

– Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature

1861 sände upptäckten av världens första fraktal chockvågor inom matematiska kretsar.

Om man tar en penna och ritar en sicksacklinje får man till slut ett antal skarpa hörn sammanbundna med fina linjer. För att visa hur det skulle kunna göras skapade den tyske matematikern en sicksacklinje som var så taggig att det inte var annat än hörn – det ultimata matematiska stackatot.

Oavsett hur många gånger det förstorades så upplöstes undantagslöst alla glimtar av en tunn linje i en ändlös kaskad av hörn, allt närmare packade till varandra. Weierstrass form hade oregelbundna detaljer i alla olika skalor – den första huvudegenskapen hos en fraktal form.

Matematiker stämplade Weierstrass form som ”patologisk”, då den trotsade de framprovade beräkningsverktygen som så noggrant hade samlats ihop under de senaste fem hundra åren. Den förblev en retsam glimt in i en helt ny typ av former tills modern datakraft gav matematikerna nycklarna till detta förlovade land.

2. Består av mindre kopior av sig själva

Jag upptäckte att jag med andra ord konstruerade en geometri… av saker som inte hade någon geometri.

-Benoît Mandelbrot, 1924-2010

Fraktalmgeometrins utblomning till en ny matematisk gren kan till stor del tillskrivas den polskfödde matematikern Benoît Mandelbrots, och hans nyskapande uppsats The Fractal Geometry of Nature.

Mandelbrots tal, Fractals and the Art of Roughness, vid TED2010.

Mandelbrot arbetade på 1960-talet på IBM i New York. Han hade företagets enorma datorkraft till sitt förfogande och lyckades där för första gången utforska fraktalernas underliga värld.

Kanske är Mandelbrotmängden den mest berömda fraktalen idag, uppkallad efter sin upptäckare. Att rita upp den exakt är omöjligt, men den kan approximeras genom att noggrant färga varje punkt i planet separat.

För att välja rätt färg för en specifik punkt så tillämpar vi en enkel förflyttningsregel för punkten om och om igen och ser hur länge det tar för punkten att ”fly” bort från pappret. Det är praktiskt taget omöjligt att skapa för hand, men moderna interaktiva program gör det möjligt att skapa och utforska det i realtid.

De här datorprogrammen låter användaren få se en ny slags symmetri som är kopplad till fraktaler. För matematiker är symmetri en handling som tillämpad på en form gör att den är (mer eller mindre) opåverkad.

Till exempel säger vi att en kvadrat har roterande symmetri eftersom det inte går att säga om kvadraten har snurrat 90 grader om man inte sett det ske.

Fraktalernas oändliga komplexitet ger dem en helt ny typ av symmetri som inte finns hos vanliga former. När man zoomar in på ett litet område på en fraktal så ser man otroligt nog samma form som där man började. Små delar av fraktalen kan se exakt likadana ut som helheten.

Den här symmetrin vid förstoring kan hittas överallt i naturen – det är bara att se sig omkring.

3. Komplexitet ur enkelhet

Gränslösa underverk spirar fram ur enkla regler som upprepas i oändlighet.

– Benoît Mandelbrot, 1924-2010

Medan Mandelbrot lade fraktalerna under mikroskopet så närmade sig den brittiske matematikern Michael Barnsley (för närvarande vid Australian National University) samma objekt från en annan utgångspunkt.

Även om fraktalernas geometri är oändligt komplex så är en tredje egenskap hos dem att deras komplexitet kommer ur väldigt enkla grundläggande definitioner. Formen hos en fraktal kan ringas in helt och hållet genom en kort matematisk kartläggning som exakt beskriver hur de mindre kopiorna är arrangerade för att forma hela fraktalen.

Barnsleys inflytelserika bok Fractals Everywhere från 1988 innehöll en algoritm, känd som Chaos Game, som låter datorer snabbt generera vilken fraktal som helst från kända algoritmer.

Chaos Game utgick från rymden och registrerade sin rörelse när den förflyttade sig runt. Varje hopp bestämdes genom att slumpvis välja en av kartläggningarna.

Anmärkningsvärt nog spelade det ingen roll var man startade eller i vilken ordning kartläggningarna genomgicks. Punkten hamnade snabbt i en ”strange attractor” – den fraktala formen – och så snart den kommit dit så dansade den runt där för alltid.

Dessa fraktala attraktorer är centrala i kaosteorin. Eftersom beteendet hos ett kaossystem också dansar runt en fraktal attraktor så innebär den oändliga komplexiteten i fraktalernas former att den minsta knuff i systemet kan flytta punkten för attraktorn helt och hållet.

Avgörande var att Barnsley upptäckte ett sätt att ta vilken form som helst och beräkna listan över fraktala mappningar. Eftersom de komplexa formerna kunde rekonstrueras från de enkla mappningarna var Barnsleys algoritmer bidragande inom det nya området bildkompression – som gjorde det möjligt för originalutgåvan av Microsoft Encarta att komprimera tiotusentals bilder på en enda CD.

4. Fraktala dimensioner

Naturen har spelat ett spratt med matematikerna. Matematikerna på 1800-talet må ha saknat fantasi, men det gjorde inte naturen.

– F J Dyson, citerad av Benoît Mandelbrot, The Fractal Nature of Geometry

Den sista och mest slående egenskapen hos fraktaler är att de inte är endimensionella, inte två- eller tredimensionella, utan någonstans däremellan. Naturen verkar vara mycket glad över att använda dessa fraktala dimensioner, så vi borde också vara det. För att kunna göra det måste vi först klargöra vad vi menar med ”dimension”.

Begreppet ”dimension” har många olika (men konsekventa) matematiska definitioner. Intuitivt kan vi tänka på en forms dimensioner som ett mått på hur grov formen är, eller ett mått på hur bra formen fyller upp den omgivande rymden.

Dessa intuitiva idéer kan göras matematiskt exakta. För att illustrera en fraktal dimension kan vi tänka på en pappersbit, som (praktiskt taget) är tvådimensionell. En solid sfär är tredimensionell och upptar mer rymd än pappersbiten.

Knycklar man nu ihop pappret till en boll så får man en fraktalliknande form som upptar mer rymd än pappret, men inte lika stor volym som den solida sfären. Den kommer upp i en siffra på omkring 2,5 vad gäller dimensioner.

På samma vis är dina lungor ungefär 2,97-dimensionella. Deras fraktala geometri gör det möjligt för dem att packa en stor ytarea (ett antal tennisbanor) till en liten volym (några tennisbollar). Att packa en så jättelik ytarea in i kroppen gör det möjligt att få ut tillräckligt med syre för att hålla dig levande.

Vissa delar av ens kropp är fraktala, bland annat hjärnan. Om man är uppmärksam på fraktaler kommer man att bli förbluffad över den stora variationen av platser där man kan finna dem i ens vardag – allt från moln, växter, landskap till kyrkfönster och laboratorier.

Matematiken kring fraktaler kan inte bara hjälpa oss att göra modeller av former i naturen. Det kan också återuppväcka vår barnsliga förundran inför världen omkring oss.

Tack till Jon Borwein.

Artikeln publicerades ursprungligen i The Conversation.

Översatt från engelska