Några av de främsta tänkarna ville bestämma naturen hos det matematiska tänkandet för att förbättra sin förståelse av begreppet ”bevis” i matematiken.

De försökte kodifiera tankeprocessen i det mänskliga resonemanget på det sätt det tillämpas i matematiken. De antog att logik och matematik har ett samband och att matematiken kan vara en gren inom logiken, och vice versa. De menade att den typ av logiska slutledningsmetoder som finns inom geometrin kan tillämpas inom matematiken, där alla sanna påståenden i ett system kan härledas från en bas av ett mindre antal axiom.

”Den axiomatiska utvecklingen inom geometrin har gjort ett starkt intryck på tänkare genom tiderna; ty det relativt begränsade antalet axiom bär hela bördan av det oändligt stora antalet teorier som kan härledas från dem”, skrev filosofen Ernest Nagel och matematikern James R Newman i sin bok Gödel’s Proof. ”Geometrins axiomatiska form framstod för många generationer av utomordentliga tänkare som en modell för vetenskaplig kunskap i sitt bästa slag.”

Envisa motsägelser inom logiken

Man visste emellertid att det finns naturliga paradoxer inom logiken. En mängd paradoxer upptäcktes också inom mängdläran, som till exempel Russells paradox. De här paradoxerna har samtliga två saker gemensamt: självreferens och motsägelse. En enkel och välkänd paradox är lögnaren, som till exempel ”Jag ljuger alltid”. Ur detta påstående följer att om jag ljuger så säger jag sanningen, och om jag säger sanningen så ljuger jag. Påståendet kan varken vara sant eller falskt. Det är helt enkelt obegripligt. Efter upptäckten av paradoxer inom mängdläran misstänkte matematikerna att det kan finnas allvarliga fel även inom andra grenar av matematiken.

I boken Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid skrev Douglas Hofstadter, professor i kognitiv vetenskap vid Indiana University i Bloomington, USA: ”Den här typen av frågor i matematikens grunder bar ansvaret för det stora intresset för att kodifiera metoderna för mänskligt resonemang som fanns under första delen av [1900-talet]. Matematiker och filosofer hade börjat hysa allvarliga tvivel om huruvida till och med de mest konkreta teorierna, såsom studier av heltal (talteori), var byggda på fast grund. Om paradoxer kunde uppstå så lätt i mängdläran – en teori vars grundläggande tanke helt klart är väldigt intuitivt tilltalande – kunde de då inte också existera inom andra grenar av matematiken?”

Logiker och matematiker försökte arbeta omkring de här teorierna. En av de mest berömda insatserna gjordes av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell i deras kolossala arbete med Principia Mathematica. De insåg att alla paradoxer innefattar självreferens och motsägelse, och kom på ett hierarkiskt system för att ogiltigförklara båda. Principia Mathematica hade i grund och botten två mål: att få fram en komplett formell metod för att härleda all matematik ur ett begränsat antal axiom, och att vara konsekvent utan paradoxer.

Det var vid den tiden oklart huruvida Russell och Whitehead verkligen uppnådde sina mål. Det var mycket som stod på spel. Själva grunden till logiken och matematiken verkade stå på ostadig grund. Det lades ner stora ansträngningar, med de ledande matematikerna i världen involverade, för att bekräfta Russells och Whiteheads arbete.

Hofstadter skrev i Gödel, Escher, Bach: ”[Den tyske matematikern David Hilbert] gav världens samlade matematiker (och metamatematiker) följande utmaning: att noggrant demonstrera – kanske genom att följa de metoder som Russell och Whitehead skissade på – att det system som definieras i Principia Mathematica både var konsekvent (fritt från motsägelser) och komplett (att varje sant påstående inom talteorin kan härledas inom den ram som utarbetats i [Principia Mathematica])”

Gödels ofullständighetssats

Förhoppningarna på denna stora insats tillintetgjordes 1931 av den österrikiske matematikern och logikern Kurt Gödel i och med publiceringen av hans artikel On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. Gödel påvisade en naturlig begränsning, inte bara i Principia Mathematica utan i alla tänkbara axiomatiska system som försöker modellera aritmetikens kraft. Aritmetiken, teori för heltal, såsom addition och multiplikation, är den mest grundläggande och äldsta grenen av matematiken, och som vi vet har stor praktisk betydelse.

Gödel bevisade att ett sådant axiomatiskt formellt system som försöker modellera aritmetiken inte kan vara både komplett och konsekvent på samma gång. Det här beviset är känt som Gödels ofullständighetssats. Det fanns bara två möjligheter i ett sådant formellt system:

1. Om det formella systemet är komplett, så kan det inte vara konsekvent. Och systemet kommer att innehålla en motsägelse analogt med paradoxen lögnaren.

2. Om det formella systemet är konsekvent, så kan det inte vara komplett. Och systemet kan inte bevisa hela sanningen i systemet.

För mycket enkla formella system existerar inte begränsningen. När ett formellt system blir mer kraftfullt, åtminstone kraftfullt nog för att modellera aritmetiken, blir begränsningen inom Gödels ofullständighetssats ironiskt nog oundviklig.

Vissa forskare säger att Gödels bevis har ringa betydelse i verkliga tillämpningar. Den engelske matematiske fysikern Roger Penrose påpekade att ett annat teorem, Goodsteins teorem, i själva verket är ett Gödelteorem som visar begränsningen i den matematiska induktionen när det gäller att bevisa vissa matematiska sanningar. Matematisk induktion är en helt deduktiv metod som kan vara mycket användbar för att bevisa en oändlig serie händelser med ändliga slutledningssteg.

Naturliga begränsningar för formella deduktiva metoder

Det fanns ett djupare motiv bakom Gödels ansträngningar bortom det som Principia Mathematica och andra mer praktiska formella metoder behandlar. Likt andra stora samtida matematiker och logiker ville Gödel få en bättre förståelse i grundläggande frågor om matematik och logik: vad är en matematisk sanning och vad innebär det att bevisa den? Dessa frågor är till stor del fortfarande olösta. En del av svaret kom med upptäckten att vissa sanna påståenden i matematiska system inte kan bevisas med formella deduktiva metoder. En viktig uppenbarelse av det Gödel uppnådde indikerade att begreppet bevis är svagare än begreppet sanning.

Gödels bevis tycks visa att det mänskliga sinnet kan förstå vissa sanningar som axiomatiska formella system aldrig kan bevisa. Utifrån detta hävdar vissa vetenskapsmän och filosofer att det mänskliga sinnet aldrig helt kan mekaniseras.

Trots att Gödels ofullständighetssats inte är välkänd bland allmänheten betraktas den av vetenskapsmän och filosofer som en av de största upptäckterna i modern tid. Den djupgående betydelsen av Gödels arbete erkändes först många år efter att det publicerats, något som nämns i boken Gödel’s Proof: ”Gödel blev till sist erkänd av sina jämlikar och erhöll det första Albert Einstein-priset 1951 för insatser inom naturvetenskapen – det förnämsta priset av sitt slag i USA. Priskommittén, där Albert Einstein och J Robert Oppenheimer ingick, beskriver hans arbete som ’ett av de största bidragen till vetenskapen i nutid.’”

Översatt från engelska: http://www.theepochtimes.com/n2/content/view/36419/